REGLA DE TRES

1. En 50 litros de agua hay 1,300 gr. de sal. ¿Cuántos litros hacen falta para 500 gr. de sal ?

2. Un coche gasta 5 litros de gasolina cada 100 kms. ¿Cuántos kms recorrerá con 28 litros?

3. 5 obreros hacen una pared en 15 días. ¿Cuánto tardarían 3 obreros en hacer la misma pared ?

4. Un obrero gana 35 Dolares a la semana. ¿Cuánto gana en 45 días?

5. Un camión que carga 3,000 kg da 15 viajes para transportar una carga. ¿Cuántos viajes dará otro camión que carga 4.5 toneladas en transportar la misma carga?.

6. Un granjero tiene alimento para 12 toros durante 60 días. Si compra 3 toros más. ¿Cuánto le durará el alimento?

7. Una rueda da 4,590 vueltas en 9 minutos. ¿Cuántas vueltas dará en en 2 horas y media?

8. Un deportista recorre 4.5000 m. en 10 minutos. ¿Cuántos kilómetros recorrerá en media hora?

9. 4 albañiles tardan en arreglar el tejado 18 días. Si quiero acabar el tejado en 12 días. ¿Cuántos albañiles tengo que contratar?

10. Por cada 24 kgs de aceitunas se obtienen 6 litros de aceite.

a) ¿Cuántos litros se obtienen con 5 toneladas de aceituna?

b) ¿Cuántos kgs de aceituna se necesitan para llenar un depósito de 8,000 litros de aceite?

11. Con un depósito de agua pueden beber 30 caballos durante 8 días. ¿ Cuántos días durará el agua ?

12. 3 amigos ponen 7.50 USD para hacer un regalo. Si dos amigos más quieren participar en el regalo. ¿ Cuánto debe poner cada uno?

13. 5 CD's de música cuestan 90 usd. ¿Cuánto valen 3 cajas con 10 cd´s cada una?

14. Para abonar un terreno de 4000m2 necesitamos 50 kg de abono. Si compro 20 kg. más. ¿Cuántos m2 puedo abonar?

15. Cada día leo durante 2 h y 10 minutos 25 páginas de un libro. Si el libro tiene 275 páginas. ¿ Cuánto tiempo tardare en leerlo?

16. Un coche tarda 45 minutos en recorrer 72 kms. ¿Que distancia recorrerá en 3 horas si va a la misma velocidad?

17. 1 kg de jamón cuesta 7.25 USD ¿Cuántos gramos de jamón puedo comprar con 5 USD?

18. Para alimentar a 30 perros se necesitan 45 kgs de comida. Si llegan 12 perros más.¿Cuánta comida necesitamos?

19. Una maquina fabrica 400 tornillos en 5 horas. ¿Cuánto tardará en fabricar 1,000 tornillos?

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ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON FRACCIONES

 Ecuación con fracciones, tenemos que obtener una ecuación equivalente a la dada eliminando las fracciones (los denominadores) y después utilizamos el método general de resolución de ecuaciones. 

1. Eliminar denominadores.

Esto lo podemos realizar multiplicando ambos miembros por el mínimo común múltiplo (mcm) de las fracciones.

2. Aplicamos el método general de resolución de ecuaciones.

·                            Eliminar paréntesis.

·                            Reducir términos semejantes.

·                           Transponer términos.

·                           Reducir términos semejantes.

·                           Despejar la incógnita (hallar su valor numérico).

 x - 3 _  x- 5 = x - 2

    4         6        9

El m.c.m de los denominadores es.

m.c.m. (4,6,9) = 36

Multiplicamos los dos miembros de la ecuación por el m.c.m de los denominadores.

36( x-3 _   x - 5 ) = 36( x - 2 )

       4           6                 9

La multiplicación se realiza de la siguiente manera.

 36 (x - 3) _ 36 (x - 5 ) = 36 ( x - 2 )

       4                6                 9

Multiplicamos 36 por el término que contiene x y posteriormente por el término numérico, respetando los signos, en este caso 36 es positivo y los términos numéricos son negativos, por lo tanto, resulta un número negativo, operando queda.

 36x - 108 _ 36x - 180 = 36x - 72

         4                6                 9

Formamos una fracción con cada termino del numerador, respetando su denominador correspondiente.

Recordamos como sumar y restar números enteros, nos queda.

36x _108 _ 36x + 180 = 36x _72

   4       4       6        6       9       9

Realizando cada una de las divisiones.

9x - 27 - 6x + 30 = 4x - 8

Ya que hemos eliminado los denominadores, resolvemos la ecuación con el método general de resolución de ecuaciones.

1: reducimos términos semejantes.

  

Primer Método

3x + 3 = 4x - 8

+ 3 + 8 = 4x - 3x

11 = x

Segundo método.

3x - 4x = -8 - 3

-x = - 11

x = -11   

x = - 1

x = 11

Como vemos, el resultado es el mismo, ahora comprobamos el resultado sustituyendo x en la ecuación original.

11 - 3 _ 11 - 5  = 11 - 2

   4           6           9

Es importante siempre comprobar el resultado, pues al realizar el último paso, en ocasiones no  arrojan el mismo resultado los dos métodos de transposición de términos.

Ahora veamos el siguiente vídeo:

  Ecuaciones de Primer grado con Fracciones

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ECUACIONES DE PRIMER GRADO,CON SIGNOS DE AGRUPACION Y PRODUCTOS INDICADOS

Para resolver este tipo de ecuaciones se suprimen los signos de agrupación o se realizan los productos indicados y se resuelven la ecuación equivalente que se obtuvo.

Realiza la ecuación:

8x – ( 6x – 9) + (3x – 2) = 4 – ( 7x – 8)

8x – 6x + 9 + 3x – 2 = 4 – 7x + 8

8x- 6x + 3x + 7x = 4 + 8 – 9 + 2

12x = 5

X = 5

     12

La solución es: x = 5

                               12

Resuelve los productos indicados y determina el valor de x de resolver la ecuación equivalente:

7(18-x) – 6(3 - 5x) = -( 7x+9) – 3 (2x + 5) – 12

126 – 7x – 18 + 30x = - 7x – 9 – 6x – 15 – 12

   -7x + 30x + 7x + 6x = - 9 – 15 -12 – 126 + 18

36x = - 144

    x = - 144

             36

    x = - 4                  

                                                 

La solución es: x = - 4

                              

             Vídeo de Ecuaciones de primer Grado 

                      con Signos de Agrupación

Vídeo de Ecuaciones de primer Grado

con productos Notables

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ECUACION DE PRIMER GRADO, CON UNA INCOGNITA

Igualdad. Dos cantidades son iguales o equivalentes cuando tienen el mismo valor.

  Ejemplos

  (2 + 3) ² = 25                  (4)² + (3)² = 25                   √625 = 25

Entonces ( 2 + 3) ² ,  (4)² + (3) 2² + (3)² , √625  son expresiones equivalentes ya que todas valen 25

¿Podríamos decir que x + 5 = 12 es una igualdad?

Ecuación. Es una igualdad con una o varias incógnitas que se representan con letras. Las ecuaciones pueden ser formulas que se utilizan para encontrar una magnitud.

 Ejemplos

      La formula v =  t /d, se utiliza para encontrar la velocidad constante de un móvil del que se conoce la distancia recorrida y el tiempo que se empleo en recorrerla                         
                     

     La formula  A = ℏr² se utiliza para encontrar el área de un circulo dada la longitud de radio.

También existen ecuaciones con expresiones algebraicas, en las que se busca el valor de una variable o representan modelos matemáticos que resuelven problemas de la vida real.

X + 2 = 8        x + y = 6        x² - 4 = 0     
     
     4      _      2        =    5    

   X – 2      x² - 2          x + 2   

Las ecuaciones están formadas de la siguiente manera:

                             1 Miembro  =  2 miembro

Solución de una ecuación. La solución o soluciones de una ecuación son los valores que hacen que la igualdad se cumpla.

Ejemplos

·         Para la ecuación x + 4 = 10, la solución es  x = 6, ya que al sustituir con 6 a la literal x, se obtiene : 6 + 4 = 10

·        Para la ecuación  x + y = 8. Una solución es x = 4, y = 5, porque  4 + 5 = 9

Grado de una ecuación. El grado de una ecuación se obtiene del término de mayor grado que contenga a la(s) incógnita(s).

Ejemplos

1.   

  La ecuación 2x + 3 = 5, es de primer grado porque la incógnita tiene exponente 1

 La ecuación x² - 7x + 8 = 0, es de segundo grado, porque la incógnita tiene exponente 2

3La ecuación x + y =  9, es de primer grado, porque las variables tienen exponente 1

A las ecuaciones primer grado se les llama lineales.

Ecuaciones de primer grado son una incógnita

Son ecuaciones que se resuelven mediante la aplicación de ecuaciones equivalentes con operaciones elementales (suma resta, multiplicación o división ) a ambos miembros de la ecuación hasta obtener el valor de la incógnita.

Ejemplos

Resuelve el valor de x en la siguiente ecuación: 
     2x + 3 = 7

Se agrupan los términos que contiene a la incógnita en el primer miembro y las constantes en el segundo, se aplican las sumas, restas, multiplicaciones o divisiones, según corresponda.

2x + 3 = 7           ( 2x + 3) – 3 = 7 – 3     

                               2x = 4                       

1 (2x) = 1 (4)                

                           2           2                                                 

                           2  x   =  4

                          2          2

                           x = 2

Comprobación :

                             2 (2) + 3 = 7

                                   4 + 3 = 7

                                         7 = 7

Por lo tanto la solución es  X = 2

  Veamos el siguiente vídeo :

                     Ecuaciones de Primer Grado

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DIVISION DE POLINOMIOS

División.

Para dividir polinomios donde el dividendo y divisor son polinomios con por lo menos dos términos cada uno, se sugiere los siguientes pasos:

1.   Represente la división larga, colocando el dividendo dentro de la caja y el divisor fuera de la caja.  

2.   Divida el primer término del dividendo entre el primer término del divisor para determinar el primer término del cociente.

3.   El primer término del cociente obtenido en el paso anterior multiplíquelo a cada término del divisor y colóquelos debajo de los términos del dividendo y asegúrese que están debajo de términos semejantes.

4.   Reste el producto anterior de los términos semejantes que aparecen en la línea superior y se obtiene un nuevo polinomio.

5.   Repita el proceso con el nuevo polinomio hasta que no se pueda hacer una división.

Ejemplos

Realiza la siguiente División:  x³ - x² -2x+6 x-2

Solución

Paso 1.  Representar en la caja el dividendo y divisor

divisor →

x-2

X³ - x² -2x+6

← dividendo

Paso 2  Dividir el primer término del dividendo, x3 , entre el primer término del divisor, x, y se obtiene: x3 x = x2 y se representa:

	X²	← cociente
x-2	X³ - x² -2x+6

Paso 3  Multiplicar x2 por el divisor: x2 (x-2)= x3 -2 x2 y se ubican debajo de los términos semejantes del dividendo

	X²
x-2	X³ - x² -2x+6
	X³ +2x²	multiplicando x2  por el divisor

Paso 4  Se restan los términos semejantes:

	X²
x-2	x³ - x² -2x+6
	- x³ +2x²	restando términos semejantes
	x² -2x+6	y bajando los otros términos del dividendo

Paso 5  Se repite el proceso con el nuevo polinomio

	X² +x	←cociente
x-2	x³ - x² -2x+6
	-x³+2 x²
	x² - 2x+6	se divide x2  por x
	- x² +2x	se multiplica y resta términos semejantes
	6	←residuo o resto

Veamos el siguiente vÍdeo para reforzar lo aprendido.

                             División de Polinomios

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MULTIPLICACION DE POLINOMIOS

Multiplicación.

Para realizar esta operación es conveniente recordar la regla de los signos.

Regla de los signos.

(+)(+) = +    (-)(-) = +      (-)(+) = -      (+)(-) = -

Ley de los exponentes para la multiplicación. En la multiplicación de términos con la misma base los exponentes se suman,

          b ² + b³ = b ⁵

Monomio por monomio.

   Al multiplicar monomios, primero se multiplican los coeficientes y después las bases

Realiza la siguiente multiplicación de monomios

 (- 4x²y²z)(2x³yz) = (-4)(2)x²x³y²yzz

Se aplican las leyes de los signos y de los exponentes:

                   = - 8 x⁵y³z²

Por lo tanto el resultado es: - 8 x⁵y³z²

Multiplicación de un Polinomio completos.

Resuelve la siguiente operation

(3x² – 2x + 3) x (2x + 2) = 6x³ - 4x² + 6x + 6x² - 4x + 6

                               =  6x³ + 2x² + 2x + 6

Realiza la siguiente Multiplicación. Esta es otra forma de efectuar una multiplicación:

A = 4x³ - 5x² + 2x + 1
B = 3x - 6

                4x³ - 5x² + 2x +  1           

              X                  3x  -  6           
           ____________________
            -24x³ + 30x² - 12x - 6
+
    12x⁴ - 15x³ +  6x²  +  3x
    _________________________
    12x⁴ - 39x³ + 36x²  -  9x - 6


A x B = 12x⁴ - 39x³ + 36x²  -  9x - 6

  Veamos el siguiente vídeo para confirmar lo aprendido.

                   Multiplicación de Polinomios

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